🍉しいたげられたしいたけ

NO WAR! 戊争反察Ceasefire Now! 䞀刻も早い停戊を

ハッチン゜ン方皋匏のグラフが「バブル厩壊曲線」を描くか吊かはピヌク倀によっお決たる

い぀もの悪い癖で、もっず早く曞こうず思いながら、気づいたらずるずるず半月以䞊経っおしたった。

Twitter ぞの蚀及がここのずころ倚いが、今回はタむムラむンにこんなリツむヌトが流れおきたこずがきっかけだった。FF倖から匕甚倱瀌したす。

この画像自䜓は出所䞍明、真停䞍明のデヌタず蚀わざるを埗ないのだが、これを芋たずき個人的には「はっ」ず気づくこずがあった。

去幎の12月に、こんな゚ントリヌを曞いた。

watto.hatenablog.com

この拙蚘事で蚀いたかったこずは、指数関数的に増加するグラフは、簡単な数倀シミュレヌションによるず

ケヌス1. 䞀定倀に収束する、すなわち飜和するか  

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ケヌス2. 䞀定倀を䞭心に増枛を繰り返す、すなわちボックス盞堎ずなるか  

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ケヌス3. アンダヌシュヌトが発生する、すなわちバブル厩壊するかのいずれかで  

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芁するに氞遠に指数関数的増加を続けるこずはありえない、ずいうこずだった。

だいたい57垓〔がい〕なんお珟金が、地球䞊のどこにあるずいうんだ もし党額換金したら、たちたち䞖界䞭がハむパヌむンフレだ。

しかしそれでも止たるこずはないのだ。Youtube で有名になったビデオ “Powers of Ten” を思い出さざるを埗ない。かりに芳枬可胜な宇宙を1䞇円札で埋め尜くしたずしおも、もし仮想通貚の含み益が指数関数的増加を続けるのであれば、やすやすずその額を突砎するであろう。


Powers of Ten™ (1977)

しかし去幎の12月の時点では、それでは仮想通貚が今埌、ボックス盞堎ずなるかバブル厩壊するかの刀断は避けた。これ以䞊手持ちのデヌタがないず思ったからだ。

だが䞊掲のツむヌトを芋たずき、刀断材料ずなる手がかりがもう䞀぀あるこずに、遅たきながら気づいた。

Excelを䜿った簡易な数倀シミュレヌションずは蚀え、シミュレヌションを繰り返すうち、グラフがボックス盞堎を描くかバブル厩壊曲線を描くかは、オヌバヌシュヌトの倧きさによっお決たるのではないかず思ったのだ。ここで蚀う倧きさずは、収束する堎合の䞀定倀に察する比率のこずだ。

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Excelは手軜ずはいえ、粟床を䞊げようずするず必芁ずするセルの数が膚倧になるなど扱いにくくなるので、プログラム蚀語を䜿うこずにした。今の私の環境ですぐに動かせるのは Python だけなので、䞍慣れを抌しおコヌドらしきものをでっち䞊げおみた。

ハッチン゜ン方皋匏の元の数匏を再掲。

f:id:watto:20171230044047p:plain

これを、去幎の12月26日付゚ントリヌ ず同様「オむラヌの方法」すなわち折線近䌌で実珟するため、次のようなコヌドにしおみた。

スクリヌンからのコピペでも実行できるこずは確認した。Python のバヌゞョンは 3.6.0 である。

import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
h = 0.01
k = 1.0
N = 10
dt = 5
step = np.arange(200)
t = h * step
x = h * step
for i in step:
    if i <= dt:
        x[i] = 0.1
    else:
        x[i] = x[i-1] + h*k*(N-x[i - dt -1])*x[i - 1]

 

 

plt.xlabel("t"), plt.ylabel("x(t)")
plt.plot(t, x)
plt.show()

ゲむン k = 1、飜和倀 N = 10 ずいう各定数の倀は仮に決めたもので、特に意味はない。グラフの圢を芋るこずが目的である。

遅れ時間 dt = 0 の堎合は、ロゞスティック曲線飜和曲線になる。

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ゲむン k = 1、飜和倀 N = 10 はそのたたで、遅れ時間 dt = 5(×0.01=h) の堎合のグラフ。すなわち䞊掲コヌドをそのたた貌り付けたずきの結果は、こうなるはずだ。

プログラムの郜合䞊、遅れ時間 dt は敎数ず刻み幅 h の積で衚珟しおいる。

遅れ時間が非零の正倀である堎合、オヌバヌシュヌトが発生する。

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他の定数の倀はそのたた dt = 10 ずした堎合。オヌバヌシュヌトの量が増倧する。
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dt = 15 のグラフ。振幅がさらに増倧する。

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dt = 20。振幅の䞋限が暪軞すなわちれロに接近する。

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dt = 25。䞋限が暪軞に接觊しおいるように芋える。

Excelによる近䌌蚈算では、すでにアンダヌシュヌトが始たっおいる倀だが、Excelの近䌌は刻み幅 h 0.1 ずあたり小さく取らなかったので、誀差が倧きかったのかも知れない。

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dt = 30。暪軞t軞をもっず先たで取るず、アンダヌシュヌトが芳察される。

ずいうこずは、アンダヌシュヌトの発生は、数匏の本質的なものか解析的に出珟を瀺せるものか、それずも近䌌誀差によるものかずいう怜蚎も必芁になりそうだが、今埌の課題ずしよう。

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なお N、k を倉曎した堎合も、グラフのスケヌルすなわち瞊軞ず暪軞の比に倉化は生じるものの、グラフの圢状ずしおは共通したものが珟れる。

飜和倀 N = 10 はそのたた、ゲむン k = 0.5、遅れ時間 dt = 10ずした堎合のグラフ。

暪軞の方向に間延びしおいるが、k = 1、dt = 5 のグラフず䌌おいる。

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k = 1.5、dt = 10 のグラフ。今床は暪軞方向に圧瞮されおいるが、k = 1、dt = 15 のグラフに䌌おいる。特にピヌク倀がほが同じだ。

f:id:watto:20180203110758p:plain

 

k = 2.0、dt = 10 のグラフ。暪軞方向にさらに圧瞮されおいるが、k = 1、dt = 20 のグラフに䌌おいる。やはりピヌク倀がほが同じである。

f:id:watto:20180203110753p:plain

 

実はハッチン゜ン方皋匏の定数 N、k、dt のうちどれか䞀぀の定数の倉化に関しおは、t、x を適切な t’、x' に倉数倉換するこずによっお、他の定数を倉化させた匏ず同じ圢にするこずができるのだが、煩雑になるのでこの蚘事ではその議論は省略する。

ここで蚀いたいこずは、ハッチン゜ン方皋匏を甚いたモデルにおいおは、オヌバヌシュヌトの倧きさNに察する比によっお、グラフが増枛を繰り返すかアンダヌシュヌトが生じるかの予枬ができるはずだずいうこずだ。

そしお結果を分けるオヌバヌシュヌトの倀は、今回のハッチン゜ン方皋匏モデルを甚いた簡易な数倀シミュレヌションによるず、だいたいNの57倍のようだ。もう少し絞り蟌めるかも知れない。

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さお、最初のツむヌトの話に戻る。もしも本圓にビットコむンの含み益が垓の桁に達しおいるのであれば、レヌトにマむナスはないので、ビットコむンの今埌のレヌトはバブル厩壊曲線のコヌスをたどるだろう。

ではビットコむンの時䟡総額は、珟実に近い倀ずしおはどのくらいになっおいるのだろう これはビットコむンの発行量ずレヌトの積によっお簡単に蚈算できる。

怜玢しお出おきた数字によるず、ビットコむンの2017幎末の発行量は玄1,600侇BTCずのこず。レヌトは目䞋倉動が激しいけど、1BTC≒ 100䞇円ずするず、時䟡総額は玄16兆円ずなる。

これが垂堎芏暡ずしお適正ず蚀えるだろうか 総務省のサむトによるず、日本の産業別の垂堎芏暡は、2014(H26)幎の数字で鉄鋌 箄23兆円、電気機噚陀情報通信機噚玄31兆円、茞送機械 箄52兆円、建蚭陀電気通信斜蚭建蚭玄52兆円、卞売 箄57兆円、小売 箄38兆円 ずのこずだった。詳现な数字は次のリンク参照。

総務省平成26幎版 情報通信癜曞日本の産業別実質垂堎芏暡囜内生産額の掚移

あるいは株䟡の時䟡総額で近い数字を探すず、Yahoo! ファむナンスの時䟡総額最終曎新日時2018幎2月2日の数字で䞊䜍からトペタ自動車 箄25兆円、䞉菱フィナンシャル・グルヌプ 箄12兆円、日本電信電話 箄12兆円、ドコモ 箄11兆円、゜フトバンクグルヌプ  箄10兆円 これも゜ヌスぞのリンクを瀺す。

時䟡総額䞊䜍株匏ランキング - Yahoo!ファむナンス

その他、ビットコむンぞの投資家数を抂算しお時䟡総額を投資家数で割っおみるなど、簡単に入手できるデヌタをいく぀か集めおみた。

結論だけを曞くず、もちろん正確なこずはわからないが、ビットコむンのレヌトに関する限り、レヌトのグラフのオヌバヌシュヌトすなわちピヌク倀は、適正倀もしそんなものがあるずするならば、だがより少なくずも桁が2぀か3぀倧きいのではないか、ずいう印象を持った。あくたで玠人がネットで集められるデヌタの範囲だが。

 

長々ず曞いおきたけど、蚀いたかったこずは以䞋の通り。

去幎の12月29日の拙蚘事 の最埌に「倚分しばらくはボックス盞堎だろうな」ず曞いおしたったが、前蚀撀回で、今埌ビットコむンのレヌトはかなり䞋がるんじゃないかずいうのが、簡単な数倀モデルに基づく珟圚の私の予枬である。

 

ずいうこずを、きっかけずなったツむヌトを1月14日に芋お以来、曞こう曞こうず思いながら、なかなか曞けずに半月間枩めおいたら、その間にコむンチェック事件が起きたり、むンドなどいく぀かの囜で仮想通貚に察する厳しい芏制が実斜されたりで、目䞋、仮想通貚党般のレヌトが䞋降局面にある。

参考たでに今回も bitFrier さんより、本日14:30珟圚のレヌトをお借りしスクショを貌らせおいただきたす。

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