しいたげられたしいたけ

空気を読まない 他人に空気を読むことを要求しない

ツイッターに流れてきたパズルに関する補遺(その2)

3桁の数字195が 1×95 = 19×5(=95)という性質を満たすことがわかれば、1995、19995、199995…も同じ性質を満たすことが、計算しなくてもわかることを示したい。

このくらい計算したって大した手間じゃないという突っ込みは黙殺する。 

1995の場合だけ示せば、あとは数学的帰納法でいけるかな?

1×995 = 1×900+1×95 = 1×950-1×50+1×95
= 10×(1×95)-1×50 + 1×95
= 10×(19×5)-10×5 + 19×5
=(10×19)×5 + 9×5 = 199×5 ■

1行目で出てきた-1×50 が最終行で消えることと、 2行目と3行目で  1×9519×5 を入れ替えているのがキモである。

  *      *      *

4桁の数字 6545 が 6×545 = 654×5(= 3270)という性質を満たすことがわかれば、654545、65454545…も同じ性質を満たすことが、計算しなくてもわかることを示したい。

このくらい計算したって大した手間じゃないという突っ込みは黙殺する。 くどいか。

これも654545の場合だけ。

6×54545=6×54000+6×545 = 6×54500-6×500+6×545
= 100×(6×545)-6×500+6×545
= 100×(654×5)-600×5+654×5
=(100×654)×5 + 54×5 = 65454×5 ■

なんで例示に 195 と 6545 を選んだかというと暗算が楽そうだと思ったからだが、あとで考えたら暗算する機会がなかった。

  *      *      *

総和記号 Σ を使って一般的な証明ができないかとやってみた。あまり読みやすくなかったので、以下、最後まで読んでいただく価値はないかも知れません。あくまで自己満足のためです。

TeX が使えないので、いつもの通り Word の数式ツールで作成した数式を、画像で貼りつけています。そろそろ覚えなくちゃ…

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n+1 桁の整数の一般形を、次の形で示す。1の位を表すのに10のゼロ乗を使いたかったので、ゼロから数えるためプラス1となる。前回のプログラムも、実はそうなっていた。

f:id:watto:20200722123142p:plain

ツイッターに流れてきたパズルの条件は、総和記号を用いると次のように表記できるはず。

f:id:watto:20200722123630p:plain

繰返しの桁数を p とすると、繰返し回数2回のとき n = 2p+1。また 1≦ k ≦n-1 で ap+k ak(あとで使う)。

(1) は、次のように書き換えられる。

f:id:watto:20200722124825p:plain

最大桁の係数が同じ、すなわち an+p a2p+1 aなので

f:id:watto:20200722131030p:plain


(2)の左辺に相当する式を構成してみる。

f:id:watto:20200722131609p:plain

 

 (2)の右辺に相当する式を構成してみる。

f:id:watto:20200722131648p:plain

 

最終的に(4)式=(5)式すなわち次式が示せればいい。

f:id:watto:20200722131725p:plain

 

(4)式を変形する。 

f:id:watto:20200722132017p:plain

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a2p ap+1 と aaが等しいから

f:id:watto:20200722135750p:plain

これで(2)式が適用できる。

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 ap+1 an だから

f:id:watto:20200722140830p:plain

 

以下、短い感想戦。(4)式の変形で出てきた

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というのが、前後のΣに吸収されてきれいに消える爽快さと、

式の変形をしているうちに添字がワケわかんなくなって頭を抱える面倒さという

(なにせ aと ap+1 と an+p と a2p+1 が等しいのだ)

初等的ながらいわば数学の醍醐味といやらしさが詰まった問題となり、個人的には楽しませてもらいました (^_^;

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