はてなTeX記法の練習にπが無理数であることの証明を書いてみる（その1）

新着お目汚しを避けるため、日付をさかのぼって公開しています。

ちょい訳あって「はてなTeX記法」を練習したくなった。これまで自ブログに数式を載せたいときはMS-Officeの数式機能で作成した画像データを貼り付けていたが、対話型AIと遊ぶにはTeX使えた方がいいんじゃないかと想像したのだ。本当にそうかどうかは、まだやってないからわからない。TeX自体、マスターする価値は大いにあるだろう。遅きに失した感濃厚だが、何事も始めるのに遅すぎるということはないということで。

練習用に、イアン・スチュアート『明解ガロア理論 [原著第3版]』(講談社) 「第24章超越数」から $π$ の無理性の証明を選んでみた。共立出版社から出ていた初版の訳書『ガロアの理論(1979年)』では第6章と早めの方にあったが、第3版では最終章に移動されていた。今を去ることン十年前の学生時代に、共立版のほうの「 $π$ の超越性の証明」は軽く挫折したけど無理性のほうは辛うじて読んだように記憶していたが、改めて目を通すと全っ然覚えていなかったから、たぶんこちらも理解していなかった可能性が高い。

はてな記法一覧 - はてなブログヘルプによると「tex記法」は [tex:～～] と書けばいいとのこと。ちなみに [tex:～～] 自身は同ヘルプの「自動リンク停止記法」を使って書いた。

まずは P279 補題から。 $\mathbb{Z}$ は整数全体の集合である。

補題 24.1 $f: \mathbb{Z}→\mathbb{Z}$ を $n→+∞$ のときに $f(n)→0$ である関数とする．このときすべての $n\geq N$ について $f(n)=0$ となる数 $N\in \mathbb{Z}$ が存在する．

証明 $n→+∞$ ならば $f(n)→0$ になるので， $n\geq N$ であれば $|f(n)-0|<\dfrac {1}{2}$ となる数 $N\in \mathbb{Z}$ が存在する． $f(n)$ は整数なので，このことは $n\geq N$ について $f(n)=0$ であることを意味している．

うーん、美しい！つか申し分ない。いずれも個人の感想です。

ちなみに当該部をフラットベッドスキャナーでスキャンした画像が、こちら。

イアン・スチュアート『明解ガロア理論 [原著第3版]』(講談社) P279

証明終了を示す「□」だけを右寄せするのは、今回の主題とは関係ないので省略した。

自動リンク停止記法を用いてソースも示そう。改善の余地あるかも知れない。つかご指摘歓迎です。

補題 24.1 [tex:f: \mathbb{Z}→\mathbb{Z}] を [tex:n→+∞] のときに [tex:f(n)→0] である関数とする．このときすべての [tex:n\geq N] について [tex:f(n)=0] となる数 [tex:N\in \mathbb{Z}] が存在する．

証明 [tex:n→+∞] ならば [tex:f(n)→0] になるので，[tex:n\geq N] であれば [tex:|f(n)-0|<\dfrac {1}{2}] となる数 [tex:N\in \mathbb{Z}] が存在する． [tex:f(n)]は整数なので，このことは [tex:n\geq N] について [tex:f(n)=0] であることを意味している．

短いエントリーだが、調べ調べ書いたので、ここで力尽きてしまった。「πの無理数性の証明はどこ？」という自己突っ込みを入れつつ、今回はここまでを一区切りとする。いろんなサイトを参照しましたがURLは省略します。ありがとうございました。まとめお礼で失礼します。

なおタネ本のスキャン画像とTeXのソースを示すのは、今回限りとする。

若い時と違って年取ってからやっていることなので、あえて先は急がない。自分の理解用に中途計算を差し挟みつつ、全3回くらいになる予定。

つか若い時はうぬぼれたり先をあせったりして計算間違いを大量生産し使いものにならなかったような記憶があるけど、都合の悪いことはぜんぶ忘れた。

ちなみにプログラミング教本のサンプルコードを入力＆実行しながら読むことを「写経」と言うけど、こういうのも写経の一種かしらん？

追記：

続きです。

watto.hatenablog.com