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2025-09-02 2025-09-14

はてなTeX記法の練習にπが無理数であることの証明を書いてみる（その2）

数学

今回も新着お目汚しを避けるため、日付をさかのぼって公開しています。前回はこちら。

watto.hatenablog.com

$π$ の無理性の証明は、タネ本イアン・スチュアート『明解ガロア理論 [原著第3版]』(講談社) P279～280に載っている。今回はその前半を「はてなTeX記法」で写経してみる。活字の数式をTeXに変換することを「写経」と呼ぶのは、弊ブログのローカル呼称である。

定理24.2 実数 $π$ は無理数である．

証明積分

$I_n =\int_{-1}^{1} (1-x^2)^n \cos(αx) dx$

を考察する. 部分積分により $n≥2$ であれば

$α^2 I_n =-4n(n-1) I_{n-2}$ (24.1)

である． $n$ に関する帰納法により

$α^{2n+1} I_n =n!(P \sin(α) + Q \cos(α))$ (24.2)

と表せる．ここで $P$ と $Q$ は $a$ に関する次数 $2n+1$ よりも小さな，整数係数の多項式である．
項 $n!$ は式(24.1)の因子 $4n(n-1)$ からもたらされる．

上掲書P279より

まずはここまで。証明のほぼ半分である。

式番号はタネ本では部分右寄せだが、弊ブログにおける部分右寄せの実現は今後の課題とし今回は見送った。

下から2行目の「ここで $P$ と $Q$ は $a$ に関する<略>」というのは「 $α$ に関する」の誤植だと思われる。理工学書に誤植はつきものである。

部分積分を、自分の復習のため詳述する。どれでもいいけど大日本図書『新微分積分Ⅰ』というのが手元にあるので、P102から写経する。

定積分の部分積分法

$\int g(x) dx =G(x)$ とおくと

$\int_{a}^{b} f(x) g(x) dx = [f(x) G(x) ] _{a}^{b} - \int_{a}^{b} f'(x) G(x) dx$ (3)

自分用の練習問題のつもりで、『明解ガロア理論』(24.1)式の導出過程を省略せず書いてみる。

まずは試しに、ChatGPTに「 $\int \cos(αx) dx$ を計算してください」と入力してみた。

回答をテキスト形式でコピーすると、TeX形式になっていた。回答の一部を「はてな記法」に修正して貼る。

$\int \cos(αx) dx= \frac{1}{\alpha}\sin(\alpha x) + C \quad (\alpha\neq 0)$

※ 特別な場合： $\alpha=0$ なら $\cos(0\cdot x)=1$ なので $\int 1\,dx = x + C$ 。

すげー！つか目論見どーり!!

それから $\alpha=0$ のときは考慮してなかった。検算にも使えるのだな。

$I_n$ を1回、部分積分してみる。定積分なので、定数項は省略可能である。

$I_n = \frac{1}{α} [(1-x^2)^n \sin(αx) ] _{-1}^{1}$

$- \frac{1}{α}\int_{-1}^{1} \{ −2nx(1−x^2)^{n−1}\} \sin(αx) dx$

右辺第1項はゼロなので、つまるところ

$I_n = \frac{2n}{α}\int_{-1}^{1} x(1−x^2)^{n−1} \sin(αx) dx$

である。

この式にもう一度、部分積分を施す。もちろん対話型AIの力を借りている。

$\int \sin(αx) dx= - \frac{1}{\alpha}\cos(\alpha x) + C \quad (\alpha\neq 0)$

$\{x(1−x^2)^{n−1} \}'$

$=(1−x^2)^{n−1} −2x^2(n−1)(1−x^2)^{n−2}$

だから

$I_n = - \frac{2n}{α^2} [x (1-x^2)^{n-1} \cos(αx) ] _{-1}^{1}$

$- \frac{2n}{α^2}\int_{-1}^{1} (1−x^2)^{n−1} \cos(αx) dx$

$+ \frac{4n(n-1)}{α^2}\int_{-1}^{1} (1−x^2)^{n−2} x^2 \cos(αx) dx$

今回も右辺第1項はゼロになるが、あれ、タネ本 (24.1) 式 $α^2 I_n =-4n(n-1) I_{n-2}$ が出てこない！？

なんでだ？ (ﾟДﾟ;

どっか得意の計算間違いをやらかしてるんじゃないかと、いろいろ確認中ですが、目下未解決です。

とりあえず「その2」はここまでとする。当初予定の「その3」で終わるかどうか不透明になった。

追記：

続きです。

watto.hatenablog.com

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