はてなTeX記法の練習にπが無理数であることの証明を書いてみる（その3）

今回も新着お目汚しを避けるため、日付をさかのぼって公開しています。前回はこちら。

watto.hatenablog.com

前回は、タネ本イアン・スチュアート『明解ガロア理論 [原著第3版]』(講談社) P279 (24.1) 式 $α^2 I_n =-4n(n-1) I_{n-2}$ が導出できないところで詰まった。どこをどう間違えたか、未解決である。

そこで頭を冷やす目的も兼ね $I_0 , I_1 , I_2$ を書いてみることにした。

$I_0 = \int_{-1}^{1} \cos(αx) dx$

$= \dfrac{1}{α} [ \sin (αx ) ] _{-1}^{1} = \dfrac{2}{α} \sin (α)$

はいいとして、 $I_1$ は対話型AIの力を借りざるを得なかった。

$I_1 = \int_{-1}^{1} (1-x^2) \cos(αx) dx$

$= \dfrac{4}{α^3} ( \sin (α) - α ･ \cos (α) )$

$I_2$ に至っては、対話型AIの出力の丸写しである。

$I_2 = \int_{-1}^{1} (1-x^2)^2 \cos(αx) dx$

$= -\dfrac{1}{α^5} ｛(16 α^2 -3) \sin(α) + 3 α\cos(α) ｝$

複数の対話型AIサイトを使って結果を照合したのだが、DeepSeekには「部分積分を4回も繰り返す必要がある面倒な問題でしたが、きちんと整理された形で答えを導くことができました」と言われてしまった。いやマジで感謝します。お世話になっているすべてのサイトに、ありがとうございます。

それにしても $I_0$ と $I_2$ に関して (24.1) 式やっぱり成り立ってないじゃないか？？

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とにかく先を進めよう。今回は新たにタネ本 P279～280 から、証明の後半を写経する。「写経」は弊ブログのローカル呼称で、活字の数式をTeXで写すことである。

　背理法で進めるために， $π$ は有理数であると仮定する．そうすると $π = a / b$ と表せる．ただし $a, b\in \mathbb{Z}$ かつ $b≠0$ である．式 (24.2) において $α =π/2$ とする．このとき

$J_n = a^{2n+1} I_n / n!$

は整数である．定義によって

$J_n = \dfrac { a^{2n+1} }{ n! } \int _{-1}^{1}(1-x^2)^n \cos ( \dfrac{\pi }{2}x ) dx$

である．被積分関数は $-1 < x < 1$ において正なので， $J_n > 0$ になる．ゆえに $J_n ≠0$ がすべての $n$ について成り立つ．一方で

$| J_n | ≤ \dfrac { |a|^{2n+1} }{n!} \int _{-1}^{1}\cos \left( \dfrac{\pi }{2}x\right) dx$

$≤ C |a| ^{2n+1} / {n!}$

である．ここで $C$ は定数である．ゆえに $n → + ∞$ のとき $J_n → 0$ である. これより補題 24.1 から $J_n = 0$ であるが，これは $J_n ≠ 0$ と矛盾する．よって $π$ が有理数とした仮定は誤りである．