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2025-09-04 2025-09-10

はてなTeX記法の練習にπが無理数であることの証明を書いてみる（その4：補遺）

数学

今回も新着お目汚しを避けるため、日付をさかのぼって公開しています。前回はこちら。

watto.hatenablog.com

その後ネットを徘徊して、ウィキペディア英語版の「カートライトの証明」(Cartwright's proof) というのが、タネ本『明解ガロア理論 [原著第3版]』(講談社) P279～280と同じ道具立てを用いているのを見つけた。

ただし計算過程が違っていた。

またウィキペ「カートライトの証明」では、『明解ガロア理論』の積分

$I_n =\int_{-1}^{1} (1-x^2)^n \cos(αx) dx \quad (1)$

を

$I_n (x) =\int_{-1}^{1} (1-z^2)^n \cos(xz) dz$

と書いていた。すなわち変数 $x$ の代わりに $z$ を、 $α$ の代わりに $x$ を用いていた。

以下、拙稿では『明解ガロア理論』のほうに合わせる。1ケタの数式番号は、本稿独自のものである。ようするに今回は、ウィキペ英語版の「写経」である。

ウィキペ英語版では、(1)式より次の漸化式を導いている。

$α^2 I_n = 2n(2n−1) I_{n-1} - 4 n(n−1) I_{n-2}$

$\quad (n \geq 2) \quad (2)$

そうだっけ？

拙過去記事「その2」で、次の合成微分をAIに解かせたが

$\{x(1−x^2)^{n−1} \}'$

$=(1−x^2)^{n−1} −2(n−1)x^2(1−x^2)^{n−2} \quad(3)$

右辺第2項を変形すると

$−2(n−1)x^2(1−x^2)^{n−2}$

$=2(n−1) \{(1-x^2)(1−x^2)^{n−2} +(1−x^2)^{n−2} \}$

$=2(n−1) \{(1−x^2)^{n−1} +(1−x^2)^{n−2} \}$

だから、(3)式は

$\{x(1−x^2)^{n−1} \}'$

$=(2n−1)(1−x^2)^{n−1} −2(n−1)(1−x^2)^{n−2}$

と書くこともできる。これを用いて

$I_n = \frac{2n}{α}\int_{-1}^{1} x(1−x^2)^{n−1} \sin(αx) dx$

に2回目の部分積分を施す (1回目の部分積分は「その2」中

$I_n = - \frac{2n}{α^2} [x (1-x^2)^{n-1} \cos(αx) ] _{-1}^{1}$

$+ \frac{2n(2n-1)}{α^2}\int_{-1}^{1} (1−x^2)^{n−1} \cos(αx) dx$

$- \frac{4n(n-1)}{α^2}\int_{-1}^{1} (1−x^2)^{n−2} \cos(αx) dx$

$= 0+ \frac{2n(2n-1)}{α^2} I_{n-1} - \frac{4n(n-1)}{α^2} I_{n-2} \quad(4)$

(2)式導出ｷﾀ━━━(*ﾟ∀ﾟ*)━━━ !!!

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ウィキペ英語版では、続いて次の数列を導入している。例によって記号は『明解ガロア理論』に合わせているが、定義は『明解ガロア理論』と違うので注意が必要そう。

$J_n = α^{2n+1} I_n$

(2)より

$J_n =2n(2n-1) J_{n-1} - 4n(n-1)α^{2} J_{n-2}$

$J_{n-2}$ の係数 $α^2$ がどこから出てくるのか、ちょっと迷ったが $J_{n-1} = α^{2n-1} I_{n-1}$ 、 $J_{n-2} = α^{2n-3} I_{n-2}$ なのだな。

$J_{0}=2\sin α$ と $J_{1}=-4α\cos α+4\sin α$ は、拙過去記事では「その3」で導出した。

$J_{n}=α^{2n+1}I_{n}$

$=n!\{ P_n (α)\sin(α) + Q_n (α) \cos(α) \} \quad (5)$

ここに $P_n(α)$ と $Q_{n}(α)$ は次数 $n$ 以下の整数係数の多項式というのは、そうなりそうだし時間をかけて検証すれば確かめられそうだが、今は信用するしかあるまい。

追記：

特に漸化式(2)の $I_{n-1}$ の係数 $2n(2n−1)$ と $I_{n-2}$ の係数 $4n(n−1)$ から(5)式のように共通項 $n!$ をくくり出せることは、変数を使い分けてちゃんと示すべきかも知れない。今後の課題にしよう。

追記おわり

ここで、いよいよ $α=π/2$ を代入する。そして整数 $a$ 、 $b \, (\neq 0)$ を用いて $π/2=a/b$ と表せられると仮定する。すなわち $π$ が有理数だと仮定する。

$\sin (π/2) =1$ 、 $\cos (π/2) =0$ だから、(5) を変形して

$\dfrac { a^{2n+1} }{ n! } I_n =P_n (π/2) b^{2n+1} \quad (6)$

「その3」には「 $b$ どこに行った？」と書いたけど、分子に移動したのだな。いや書いててうすうす気づいたが、ここまで正確な式は導出できなかったので。

(6)式右辺は非0の整数、左辺中の $I_n$ は被積分関数 $(1-x^2)^n \cos(αx)$ が $-1 \leq x \leq 1$ の範囲で $0 ～ 1$ また積分区間長2なので、2未満の正の値をとる。

しかるに左辺は $n → ∞$ のとき $\dfrac { a^{2n+1} }{ n! } = 0$ なので、矛盾が導かれた。すなわち $π$ の無理性が示された□

$P_n$ と $Q_n$ は $n$ が大きくなると式の形が爆発的にややこしくなりそうとか、ちょっと追い切れてないところはあるけど、これならわかる。わかった気がする。

よく言われることだけど「わかった」って、どういうことだろう？アインシュタインの有名な言葉「この宇宙でもっとも理解しがたいのは、それが『理解できる』ということである」を思い出さざるを得ない。

なおウィキペ英語版によると、カートライトはこの証明をケンブリッジ大学の試験の答案として提出し、その答案用紙は今もケンブリッジに保存されているそうだ。いやはや、世界にはすごい人がいる。いや、すごい人がいくらでもいることは知ってたけどさ。

ところで『明解ガロア理論』の記述だが、少なくとも導出過程においては「不正確」と断じていいのではなかろうか。

なんつーか「こんなはずじゃなかった」感あるが

はてなTeX記法をマスターする
TeX記法で対話型AIを利用する
$π$ の無理性の証明を理解する

という目的が一応ぜんぶ達成できたようなので、結果オーライとしよう。ひきつづき修行は必要にせよ。

そゆえば「写経」って「修行」だよね、昔から。

目立たぬよう日付をさかのぼって公開しておいてナンですが、もし間違いなどご指摘ありましたら、ぜひお願いしたく存じます。つかぜってー何かやらかしているので、随時、手を入れる予定です m(_ _;)m

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