しいたげられたしいたけ

空気を読まない 他人に空気を読むことを要求しない

ツイッターに流れてきたパズル「164→64、265→130、498→392…」はいわゆる「小学生にも分かるが大学院生でも解けない」良問では?

今朝、ツイッターのタイムラインに、こんなリツイートが流れてきた。FF外からリンク失礼します。

 すぐにはわからなかったが、少し考えてわかった…つもりになった。

 

ところが、私のタイムラインにこのツイートをリツイートされた わんおぺまむ(id:one-mam)さんは、元ツイにこんなリプをつけられていた。言及失礼します。

 え゙?「そっちもか」って、どういう意味??

 

とりあえず、続く わんおぺまむ さんのリプに書かれていた追加の問題を解いてみた。

この瞬間に、ようやくわかった!

あああああ、これはすごい! (゚Д゚;ノノ

続きにパズルの解答があります。 

 

その前に、元ツイ主の ちーたー @Cheetah_math さんが、ご自身のツイにリプしたアンケも引用します。

 私は最初 783 だと思いました。

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3桁の整数を x×100 + y×10 + z と表すと、x × ( y×10+) = ( x×10+) × z が成り立つ数は、いくつあるだろう?

222、333、444…のようなゾロ目(オイチョカブで言うアラシ)のとき成立するのは自明だが、それ以外で。

数学的に求めることはできそうだが、整数論の道具が必要そうに思えた。私は工学部出身で、どちらかというとガリガリと力ずくで数値を求めることに慣れており、整数論はきちんと勉強したことがない。

10×10×10=1000通りくらいの組み合わせであれば、Excelを使って網羅することができそうだと思った。

やってみた。

f:id:watto:20200715231238p:plain

 3行目に1の位の数値データ0~9、A列、M列、Y列に100の位の数値データ0~9を入力し、セルC2は10の位の数値データを0から9まで手入力して再計算させる。

 

セル範囲B4~K13には (x×10+y) × z を計算する数式を入力

(具体的にはセルB4に数式 =(10*$A4+$A$2)*B$3 を入力してセルK13までコピー)、

 

セル範囲N4~W13には x × ( y×10+) を計算する数式を入力

(具体的にはセルN4に数式 =$M4*($A$2*10+N$3) を入力してセルW13までコピー)、

 

セル範囲Z4~AI13には、x × ( y×10+) = ( x×10+) × z  のときその計算結果を、x × ( y×10+) ≠ ( x×10+y ) × z のときバツを表示するIF関数を入力している

(具体的にはセルZ4に数式 =IF(B4=N4,B4,"×") を入力してセルAI13までコピー)。

 

セルC2(10の位)の値を0から9まで手入力により変化させて、1000通り全て試したところ、条件が成立するのはゾロ目以外には

164 → 64、195 → 95、265 → 130、498 → 392

の4通りしかないことがわかった! ゾロ目の9通りを加えても13通りしかない!(000もアリだとすると14通り)

ちーたー さんの元ツイの問題には、ゾロ目でない4つの数のうち3つと、ゾロ目の777が含まれている。条件を満たすゾロ目以外の数は、元ツイの問題に出てくるものの他には 195 たった一つしかない!

 

もしこれらの値を、総当たりの力ずくではなく理論的に求めるとしたら、どうすればいいのだろう? 見当もつかない。数学の言葉では「不定方程式を満たす整数解を求める問題」と言うのかな? ひょっとしたら、ありふれた整数論の道具を使えば、あっさりと解けるのかも知れないが。

数学の世界では、問題の意味は小学生でもわかるほどわかりやすいが、理論的に解くには高度な道具が必要になる問題を「良問」とするそうだ。

もしかしたらこのパズルは、そうした良問なのかも知れない。

ただし、どなたかガチ数学セクターの方に理論的な説明をいただけたとしても、私には理解できない可能性が高いのだが (^▽^;

 

それにしても、元ツイ主の ちーたー さんは、どうやってこの問題を思いついたのだろう? 4つしかない非自明解(ゾロ目以外という意味)のうち3つを、どうやって見つけたかも気になる。

ひょっとして、ちーたー さん自身が数学の道具を使ってこの問題を作ったのだろうか…?

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