なんで「群」というものがいるのか、なんで「群」というのがスゴイのかが、おぼろげながらわかったような気がした。
「体」の有用性なら、まだわかりやすい。「逆元」という概念を利用して「自然数」→「整数」→「有理数」→「無理数」→「複素数」と「数」が次々と拡大されていったというストーリーは、すでに知っていた。また本書には出てこないが、ギリシャ三大難問の一つ「角の三等分の作図不可能性」の証明が「体の拡大」を使うことによって可能になるくらいで（例えば足立恒雄『ガロア理論講義 (日評数学選書)』1章）、十分強力なのだ。
しかし「群」を勉強しようと思ったら、多くの数学書の場合、「置換」から話が始まる。で、「置換」のなす「群」の話がえんえんと続いて、なんのためにこんなことをするのかよくわからないまま、どっかで挫折する。
本書のありがたいところは、「置換」を使わず「三角形の対称移動」「四角形の対称移動」を例として用いて、「部分群」「左剰余類・右剰余類」「固定体」「正規部分群」あたりまで連れて行ってくれることだ。
たまたま目にしたvipの過去ログより。
http://logsoku.com/thread/hibari.2ch.net//news4vip/1322404151
数学詳しい奴きてくれ
1 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/11/27(日) 23:29:11.70 ID：l6CDbm170 [1/6回発言]
剰余類とか合同とかよく分からないので教えてください
＜中略＞
4 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/11/27(日) 23:30:34.88 ID：cu21We/Q0 [1/5回発言]
ガロア理論？5 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/11/27(日) 23:31:06.12 ID：2GBm/DLi0 [1/1回発言]
何言ってるかわかんない俺は文系6 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/11/27(日) 23:31:06.87 ID：UwSMUXBa0 [1/1回発言]
きたけどだるいから帰るわ7 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/11/27(日) 23:32:09.07 ID：l6CDbm170 [2/6回発言]
左剰余類と右剰余類ってさ
例えば普通の積が定義された0以外の複素数全体の集合とかだと一致するよね？8 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/11/27(日) 23:33:49.60 ID：pn6lkuJC0 [2/2回発言]
可換だから当たり前9 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/11/27(日) 23:35:58.53 ID：l6CDbm170 [3/6回発言]
aH = {ah|h∈H} が剰余類ってのがなんかこうイメージできない10 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/11/27(日) 23:37:39.35 ID：9KulCe4C0 [1/1回発言]
高校数学？11 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/11/27(日) 23:38:13.24 ID：cu21We/Q0 [2/5回発言]
抽象化が目的なんだからよく分からなくて当然なのでは？中学生にも分かるレベルの解説が欲しいんだったら
小島寛之『天才ガロアの発想力 〜対称性と群が明かす方程式の秘密〜』オススメ。12 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/11/27(日) 23:38:57.48 ID：cu21We/Q0 [3/5回発言]
>>10
数学科3年次レベル。13 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/11/27(日) 23:39:40.19 ID：l6CDbm170 [4/6回発言]
とりあえずいちいち整数とかに脳内変換しながら進んでって問題ないかな？14 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/11/27(日) 23:40:25.72 ID：cu21We/Q0 [4/5回発言]
整数はまずいだろ！15 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/11/27(日) 23:41:32.62 ID：DDyKgJuj0 [1/1回発言]
数学科レベルか16 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/11/27(日) 23:42:40.91 ID：3YKA51sNO [1/2回発言]
4元数くらいにしとけばおｋ17 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/11/27(日) 23:43:39.28 ID：cu21We/Q0 [5/5回発言]
整数でなんとかなるんだったら整数使ってる。
置換なんてわけのわかんないものを持ち出す必要はない。ますます『天才ガロアの発想力 〜対称性と群が明かす方程式の秘密〜』を勧めたい。
正三角形や正方形という極めてイメージしやすい実例を使って
左剰余類・右剰余類を説明してくれている。18 : 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします : 2011/11/27(日) 23:43:56.28 ID：l6CDbm170 [5/6回発言]
具体例が無いと死ぬ……
スレ主は数学科らしいけど、みんな苦労してるんだな。
ちなみに上記ログ中でなんで整数じゃまずいかというと、整数じゃ交換則が成り立ってしまうからだ。改めて考えてみると、なんで群論の教科書でまず「置換」を例に持ち出してるかっていうと、交換則を成り立たせないためだったのだ！
いらんことだが、本書の最終目標は当然ながら「5次方程式以上の解の一般公式が存在しないことの証明」なのだが、5次方程式の一般形
x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = f
は、本書中に一度も出てこないのだな。
それどころか x5 さえ、一度も出てこなかったぞ！
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